Analisi Matematica II by Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

By Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

Il presente testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico parte significativa della formazione dell'allievo.

I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica dell'opera ricalca quella usata nel testo parallelo di Analisi Matematica I. l. a. modalit`di presentazione degli argomenti ne permette un uso flessibile e modulare. Lo stile adottato privilegia l. a. chiarezza e l. a. linearit`dell'esposizione. Il testo organizzato su due livelli di lettura. Uno, più essenziale, permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia, di familiarizzarsi con le relative tecniche di calcolo e di trovare le giustificazioni dei principali risultati. L'altro, più approfondito e basato anche sullo studio del materiale presentato nelle appendici, permette all'allievo maggiormente motivato ed interessato di arricchire los angeles sua preparazione. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet`di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con los angeles relativa soluzione. consistent with oltre l. a. met`di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

Questa nuova edizione si presenta arricchita di contenuti rispetto alla precedente in modo da rispondere alle varied possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un secondo corso di Analisi Matematica.

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K=n+1 ∞ Poich´e la serie Mk converge, l’espressione a secondo membro altro non k=k0 `e che il resto n-esimo di una serie convergente che, per n → ∞, tende a 0. In conclusione lim sup |sn (x) − s(x)| = 0 n→∞ x∈X ∞ ✷ fk converge uniformemente in X. 21 Studiamo la convergenza puntuale e uniforme della serie ∞ sin k 4 x √ , k k k=1 x ∈ R. Si osservi che 1 sin k 4 x √ ≤ √ , k k k k ∀x ∈ R ; pertanto `e possibile applicare il Criterio di Weierstrass con Mk = ∞ 1 √ k k in 1 converge (si tratta di una serie armonica generalizk 3/2 k=1 zata di esponente 3/2).

A1 a1 b 0 a1 b 1 a1 b 2 ... a2 .. a2 b 0 a2 b 1 a2 b 2 ... ogni termine ck `e la somma degli elementi che si trovano sulla k-esima antidiagonale della matrice. 1). ∞ ` possibile dimostrare che la convergenza assoluta delle serie E ∞ una condizione sufficiente per la convergenza della serie ∞ ck = k=0 ∞ ak k=0 bk k=0 k=0 bk `e k=0 ck ; in tal caso si ha k=0 ∞ ∞ ak e = st . 6 Esercizi 1. Scrivere il termine generale an delle seguenti successioni e calcolare lim an : n→∞ a) 1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5 √ √ √ c) 0, 1, 2, 3, 4, .

Analogo risultato vale se la serie converge in x = −R. Se ora consideriamo una serie di potenze centrata in un generico punto x0 , i risultati precedenti si riformulano nel modo seguente. Il raggio di convergenza R ∞ ak (x − x0 )k converge solo nel suo centro x0 , mentre vale 0 se e solo se la serie k=0 R = +∞ se e solo se la serie converge in ogni punto x in R. 27 afferma che l’insieme A di convergenza della serie verifica le inclusioni: {x ∈ R : |x − x0 | < R} ⊆ A ⊆ {x ∈ R : |x − x0 | ≤ R} . ` evidente l’importanza del saper determinare il raggio di convergenza di una E serie di potenze.

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